【概率论与数理统计公式】在学习概率论与数理统计的过程中，掌握各类基本公式是理解相关概念和解决实际问题的关键。本文将对常见的概率论与数理统计公式进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、概率论基础公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | |||
| 概率加法公式 | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 用于计算两个事件至少发生一个的概率 | |||
| 条件概率 | $ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $（$ P(B) > 0 $） | 在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率 | ||
| 全概率公式 | $ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A | B_i) $ | 当事件A的发生依赖于多个互斥事件时使用 | ||
| 贝叶斯公式 | $ P(B_i | A) = \frac{P(B_i)P(A | B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j)P(A | B_j)} $ | 用于由结果反推原因的概率 |
| 独立事件判断 | $ P(A \cap B) = P(A)P(B) $ | 若成立，则A与B独立 |
二、随机变量及其分布
| 类型 | 分布名称 | 概率质量函数（PMF）或概率密度函数（PDF） | 数学期望 | 方差 |
| 离散型 | 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 离散型 | 泊松分布 $ Poisson(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 连续型 | 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 连续型 | 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $（$ a \le x \le b $） | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 连续型 | 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $（$ x \ge 0 $） | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
三、统计推断相关公式
| 内容 | 公式表达 | 说明 |
| 样本均值 | $ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $ | 描述样本集中趋势的指标 |
| 样本方差 | $ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $ | 描述样本离散程度的指标 |
| 置信区间（正态总体） | $ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ | 用于估计总体均值的区间 |
| 假设检验（Z检验） | $ Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} $ | 判断样本是否支持原假设 |
| 卡方检验统计量 | $ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $ | 用于检验分类数据的独立性或拟合优度 |
四、常用统计量与定理
| 名称 | 公式或内容 | 说明 | ||
| 大数定律 | $ \lim_{n \to \infty} P( | \bar{X}_n - \mu | < \epsilon) = 1 $ | 随着样本容量增大，样本均值趋于总体均值 |
| 中心极限定理 | $ \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1) $ | 不论总体分布如何，样本均值近似服从正态分布 | ||
| 矩估计法 | 用样本矩估计总体矩 | 一种参数估计方法 | ||
| 极大似然估计 | $ \hat{\theta} = \arg\max_{\theta} L(\theta) $ | 使样本出现概率最大的参数估计 |
五、总结
概率论与数理统计是研究随机现象规律的一门学科，其核心在于通过数学工具描述不确定性并进行推理与决策。掌握上述基本公式不仅有助于理解理论知识，还能为实际问题提供分析依据。建议结合实例练习，加深对公式的理解和应用能力。
如需进一步扩展某类分布或具体应用场景，请继续提问。